❶ 求論文：《數學抽樣法在生活中的應用》
我們通過一個典型的案例，來說明數學抽樣法在實際生活中的具體應用：為了解普通居民對某種新產品的接受程度，需要在一個城市中抽選1000戶居民開展市場調查，在每戶居民中，選擇1名家庭成員作為受訪者。總體抽樣設計 由於一個城市中居民的戶數可能多達數百萬，除了一些大型的市場研究機構和國家統計部門之外，大多數企業都不具有這樣龐大的居民戶名單。這種情況決定了抽樣設計只能採取多階段抽選的方式。根據調查要求，抽樣分為兩個階段進行，第一階段是從全市的居委會名單中抽選出50個樣本居委會，第二階段是從每個被選中的居委會中，抽選出20戶居民。對居委會的抽選 從統計或者民政部門，我們可以獲得一個城市的居委會名單。將居委會編上序號後，用計算機產生隨機數的方法，可以簡單地抽選出所需要的50個居委會。如果在居委會名單中還包括了居委會戶數等資料，則在抽選時可以採用不等概率抽選的方法。如果能夠使一個居委會被抽中的概率與居委會的戶數規模成正比，這種方法就是所謂PPS（Probability proportional to size）抽樣方法。PPS抽樣是一種「自加權」的抽樣方法，它保證了在不同規模的居委會均抽選20戶樣本的情況下，每戶樣本的代表性是相同的，從而最終的結果可以直接進行平均計算。當然，如果資料不充分，無法進行PPS抽樣，那麼利用事後加權的方法，也可以對調查結果進行有效推斷。在居委會中的抽樣 在選定了居委會之後，對居民戶的抽選將使用居委會地圖來進行操作。此時，需要派出一些抽樣員，到各居委會繪制居民戶的分布圖，抽樣員需要了解居委會的實際位置、實際覆蓋范圍，並計算每一幢樓中實際的居住戶數。然後，抽樣員根據樣本量的要求，採用等距或者其他方法，抽選出其中的若干戶，作為最終訪問的樣本。確定受訪者 訪問員根據抽樣員選定的樣本戶，進行入戶訪問。以誰為實際的被調查者，是抽樣設計中最後一個問題。如果調查內容涉及的是受訪戶的家庭情況，則對受訪者的選擇可以根據成員在家庭生活中的地位確定，例如，可以選擇使用計算機最多的人、收入最高的人、實際負責購買決策的人，等等。如果調查內容涉及的是個人行為，則家庭中每一個成年人都可以作為被調查者，此時就需要進行第二輪抽樣，因為如果任憑訪問員人為確定受訪者，最終受訪者就可能會偏向某一類人，例如家庭中比較好接觸的老人、婦女等。 在家庭中進行第二輪抽樣的方法是由美國著名抽樣調查專家Leslie Kish發明的，一般稱為KISH表方法。訪問員入戶後，首先記錄該戶中所有符合調查條件的家庭成員的人數，並按年齡大小進行排序和編號。隨後，訪問員根據受訪戶的編號和家庭人口數的交叉點，在表中找到一個數，並以這個數所對應的家庭成員作為受訪者。 上述案例是一個典型的兩階段入戶調查的現場抽樣設計，從設計的全過程可以看到，隨機性原則分別在選擇居委會、選擇居民戶和入戶後選擇受訪者等環節中得到體現。在任何一個環節中，如果隨機原則受到破壞，都有可能對調查結果造成無法估計的偏差。調查中的抽樣設計是一個復雜的技術環節，非專業的研究人員對此問題需要給予特殊關注。
❷ 在一次對中小學生的抽樣問卷調查中有這樣一個問題當你討厭的人向你求助你會幫他嗎試寫一篇議論文
寫某個具體時期或者某個具體地點的人，在特殊時期的人，常常會表現出特殊的狀態，如非典時期，你身邊的人怎樣表現的？在不同的社會地點，一般人們表現不同的社會角色，在家的和在辦公室的爸爸一定看起來很不一樣。
❸ 請問誰有關於抽樣技術的課程論文，急求！
用。
從總費用函數的公式
0
1
L
T
h
h
h
C
c
c
n
中可以看出，只有
1
L
h
h
h
c
n
是與各層樣本量
h
n
有關的費用。最優分配的目標是同時權衡費用和方差兩個指標，在方差給定時使費用盡
可能的小，或在費用給定時使方差盡可能的小。因此利用
Cauchy-Schwarz
不等式，可以得出
(1)
在給定方差
st
V
y
的情況下，使得總費用最小的層樣本量的個數的確定公式為：
1
1
2
1
(
)
(
/
)
/
L
L
h
h
h
h
h
h
h
h
L
h
h
h
W
S
c
W
S
c
n
V
W
S
N
(2)
在給定總費用
T
C
的情況下，使得方差
st
V
y
最小的層樣本量的個數的確定公式為；
0
1
1
(
)
(
/
)
L
T
h
h
h
h
L
h
h
h
h
C
c
W
S
c
n
W
S
c
最優分配的結果表明：
h
n
與
h
N
，
h
S
成正比，而與
h
c
成反比。從而得出下面的行動准
則：倘若（
1
）第
h
層所含有的單元數較多；
（
2
）第
h
層內部單元的差異程度較大；
（
3
）第
h
層每個樣本所需的費用較低，則對第
h
層需要抽取一個含量較多的樣本。
2
、特殊情形—內曼最優分配
上面所討論的最優分配是一般情況下的最優分配，如果假定各層的單位抽樣費用相等，
即
h
c
c
，
那麼費用函數就變為
0
T
C
c
cn
。
此時分配
h
n
n
的表達式將大大的簡化：
1
1
h
h
h
h
h
L
L
h
h
h
h
h
h
n
W
S
N
S
n
W
S
N
S
這種形式的分配就被稱為內曼最優分配，簡稱為內曼分配。又稱適度法，該種方法是最優分
配的一個特例。
事實上，這一結論早在
1923
年就由俄國學者楚波羅給出了證明，但一直沒有引起注意，
直到
1934
年內曼重新給出它的證明，
它才逐漸引起人們的重視，
因此這種形式的最優分配常
被稱為內曼最優分配。
內曼最優分配法在考慮各層合理權重的情況下，又使抽樣方差減小到可能范圍，這種分
配方法在使用時比比例分配法又前進了一步。
（三）最優分配與比例分配的精度比較
分層隨機抽樣中，依照定義，最優分配時估計量的精度比比例分配時估計量的精度高，
但比例分配是自加權的，計算比較方便。而內曼分配考慮到層權和各層變異程度的因素，會
使抽樣精度大大提高，兩者各有優點。但是在實際工作中具體選擇哪種分配方法，則此時要
對兩種方法的估計量的精度進行一下比較。
我們知道比例分配時估計量的方差為：
2
2
2
1
1
1
(
)
prop
st
f
V
y
S
S
S
n
n
N
而內曼分配時估計量的最小方差為：
2
2
1
1
(
)
(
)
L
opt
st
h
h
h
V
y
W
S
S
n
N
因此：
2
2
2
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
0
L
L
prop
st
opt
st
h
h
h
h
h
h
V
y
V
y
S
W
S
W
S
S
n
n
若諸
h
S
很接近，
則比例分配與內曼最優分配的精度相差無幾。
只有當各層的
h
S
相差較大時，
最優分配比比例分配在精度上才有較大的得益。因此，在設計抽樣方案時，可依已有的信息
對各層的
h
S
的離散程度加以分析，以決定是採用比例分配還是最優分配。
特別地，如果各層的容量、層內差異大小及層內平均每單元的抽樣費用十分接近時，也
可直接按等額方法分配總樣本量。此時
h
n
n
L
。
（四）實際抽樣中分配方法的選取原則
內曼分配是一般最優分配的特例，按比例分配又是內曼分配的特例，所以，一般最優分
配是樣本容量分配的通用規則。由於不同的分配規則引起的層樣本容量不同，產生的抽樣效
果也會有差別，所以如果分配方式不當，就會引起抽樣效果的損失。選取分配方法，應該考
慮具體的調查目的，調查目的的不同，樣本容量的選取規則也有差別。
1
、調查目的是取得總體特定值的情況
在這種情況下，分層實際上是為了改進這些特定值估計量的效率。現實中採用分層抽樣
大多數是為了達到這一目的。
在實際工作中，比例分配法最常用。由於它所抽取的樣本容量考慮了各層的合理權重，
使得綜合計算的樣本指標能切合實際情況，並且操作實施方便，在不要求費用等因素時很實
用。若在給定的費用下，使估計量的方差
st
V
y
達到最小，或者在給定的估計量方差
V
下，
使得總費用達到最小，
則使用一般最優分配。
內曼最優分配法在考慮各層合理權重的情況下，
又使抽樣方差減小到可能范圍，這種分配方法在使用時比比例分配法又前進了一步，而且它
是一般最優分配法的特殊情況，即對於每個抽樣單元來說抽樣時所花費用都相等。
2
、調查目的是進行各層之間的比較
一般來說，這種比較最好是在有相同相對標准誤的層樣本估計量之間進行，應該用相同
的樣本容量，除非總體方差或單位調查費用在層間變化很大。在後一種情況下，應使分配的
各層樣本容量與層總體標准差成正比，與層平均費用的平方根成反比，這樣會使總體層與層
之間差的平均方差達到最小。
3
、調查目的是既要估計整個總體也要估計層特定值的情況
在這種調查結果對總體和各層（即子總體）都需要的情況下，樣本容量的分配應視主次
而定。如果調查的主要目的是估計整個總體，那最優分配是適當的，但如果求得的各層的統
計量更重要，那麼，不論從提高層估計精度還是從使層與層更容易比較來講，就必須做一些
特定的樣本容量分配，以便在這兩個目的之間做一些妥協。
四、多變數情況下樣本量在各層的分配
一次抽樣調查中調查項目或指標可能不止一個。因此，往往總樣本量對某個指標的最優
分配不一定也是對其它指標的最優分配，有時會出現相互矛盾的情況。因此對於一個含有多
變數的調查來說，需要找到一種折中的分配方案。
（一）比例分配
在分層隨機抽樣中，當一項調查含有多個指標時，最簡單的一種樣本量的分配方式就是
比例分配。由於比例分配並不涉及具體的指標，並且此時總體總量和總體均值的估計都是自
加權的，不但形式簡單，而且數據處理也相對容易，並且在多數情況下都能得到比較令人滿
意的結果，所以此時這種分配方式是可取的。
（二）各指標最優分配平均法
該方法的基本思想是先在眾多的指標中，選擇最重要的
K
個，分別按最優分配原則計算
出各層應分配的樣本量
jh
n
，
然後求其平均值：
1
1
K
h
jh
j
n
n
K
由於各指標之間一般具有較高的相關性，因此，各指標的最優分配結果懸殊不會太大。
考慮到在計算最優分配時還受到
h
S
估計誤差的影響，因此，在實際中這樣處理就可以了。
（三）查特吉（
Chatterjee
）折中方法（
1967
年）
假定經過挑選後，有
K
個主要指標，
jh
n
為第
j
個指標在第
h
層按最優分配的樣本量，
n
為第
h
層應分配的樣本量，查特吉提出折中的辦法是：
2
1
2
1
1
K
jh
j
h
L
K
jh
h
j
n
n
n
n
查特吉法與平均法的結果很接近，它們都是在諸
jh
n
中進行折中。若
jh
n
間相差很大，
不能明顯的折中，此時，需建立一些准則來確定各層樣本量的分配。
（四）耶茨（
Yates
）方法
這種方法應用於有一個特定目的的調查，這種調查中由於估計量給定的誤差所引起的損
失是可以用錢或效用來衡量的。把總的預期損失
L
看作估計量的方差的線性函數：
,
1
(
)
K
j
j
st
j
L
a
V
y
則可進一步經過變換，推導出結論為：
1
/
(
/
)
h
h
h
h
L
h
h
h
h
W
A
C
n
n
W
A
C
，
1
1
1
(
)(
/
)
L
L
h
h
h
h
h
h
h
h
W
A
n
W
A
C
L
C
，
2
1
K
h
j
j
h
j
A
a
S
其中：
2
jh
S
是第
j
個指標在第
h
層的方差；
j
a
為系數；
,
j
st
y
是第
j
個指標的總體均值估計量。
由於比例分配的樣本是自加權的，因此，其估計量及其方差的確定形式都較最優分配時
更為簡便。但如果各層的因子
/
h
h
S
C
之間差異很大時，最優分配將會比比例分配更為有
效。
然而，
由於方差對於分配中發生的小的甚至是中等的變動並不敏感，
因此，
基什
（
L
K
ish
）
認為在實際中（
1
）除非各層的因子
/
h
h
S
C
之間有實質性的差異，一般不要採用最優分
配。否則最優分配多出的效益可能會被加權和特別細致工作的額外花費所抵消。一般來說，
要好幾倍的差異才值得做最優分配。
若
/
h
h
S
C
的幾個值大致相等，
就要用比例分配。
（
2
）
最優分配往往不是估計比例值的經濟方法，
因為比例的標准差等於
(1
)
h
h
P
P
，
它們對於
0.1
到
0.9
之間變動的
h
P
值是不敏感的。
（
3
）應用最優分配時，在實踐上要避免使抽樣比成
為復雜的分數。
（
4
）很多潛在的效益常常只需使用一些不同的抽樣比就可以得到。有時只用
兩個抽樣比就可以取得大部分的效益，對絕大多數元素採用一個低抽樣比，而對一個只包含
大元素的特殊層則採用一個高抽樣比。有時，甚至可使這些特殊層能被當然的選入樣本（即
使其抽樣比為
1
）
，以完全排除它對抽樣誤差的影響。
【參考文獻】
1
金勇進，杜子芳，蔣研
.
抽樣技術
M
.
北京：中國人民大學出版社，
2008.
2
馮士雍，倪加勛，鄒國華
.
抽樣調查理論與方法
M
.
北京：中國統計出版社，
1998.
3
倪加勛
.
抽樣調查
M
.
大連：東北財經大學出版社，
1994.
4
美
W.G.
科克倫
.
抽樣技術
M
.
張堯庭譯
.
北京：中國統計出版社，
1985.
5
謝邦昌
.
抽樣調查的理論及其應用方法
M
.
北京：中國統計出版社，
1998.
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數學高三下滬教版
第18章 基本統計方法
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