❶ 求论文：《数学抽样法在生活中的应用》
我们通过一个典型的案例，来说明数学抽样法在实际生活中的具体应用：为了解普通居民对某种新产品的接受程度，需要在一个城市中抽选1000户居民开展市场调查，在每户居民中，选择1名家庭成员作为受访者。总体抽样设计 由于一个城市中居民的户数可能多达数百万，除了一些大型的市场研究机构和国家统计部门之外，大多数企业都不具有这样庞大的居民户名单。这种情况决定了抽样设计只能采取多阶段抽选的方式。根据调查要求，抽样分为两个阶段进行，第一阶段是从全市的居委会名单中抽选出50个样本居委会，第二阶段是从每个被选中的居委会中，抽选出20户居民。对居委会的抽选 从统计或者民政部门，我们可以获得一个城市的居委会名单。将居委会编上序号后，用计算机产生随机数的方法，可以简单地抽选出所需要的50个居委会。如果在居委会名单中还包括了居委会户数等资料，则在抽选时可以采用不等概率抽选的方法。如果能够使一个居委会被抽中的概率与居委会的户数规模成正比，这种方法就是所谓PPS（Probability proportional to size）抽样方法。PPS抽样是一种“自加权”的抽样方法，它保证了在不同规模的居委会均抽选20户样本的情况下，每户样本的代表性是相同的，从而最终的结果可以直接进行平均计算。当然，如果资料不充分，无法进行PPS抽样，那么利用事后加权的方法，也可以对调查结果进行有效推断。在居委会中的抽样 在选定了居委会之后，对居民户的抽选将使用居委会地图来进行操作。此时，需要派出一些抽样员，到各居委会绘制居民户的分布图，抽样员需要了解居委会的实际位置、实际覆盖范围，并计算每一幢楼中实际的居住户数。然后，抽样员根据样本量的要求，采用等距或者其他方法，抽选出其中的若干户，作为最终访问的样本。确定受访者 访问员根据抽样员选定的样本户，进行入户访问。以谁为实际的被调查者，是抽样设计中最后一个问题。如果调查内容涉及的是受访户的家庭情况，则对受访者的选择可以根据成员在家庭生活中的地位确定，例如，可以选择使用计算机最多的人、收入最高的人、实际负责购买决策的人，等等。如果调查内容涉及的是个人行为，则家庭中每一个成年人都可以作为被调查者，此时就需要进行第二轮抽样，因为如果任凭访问员人为确定受访者，最终受访者就可能会偏向某一类人，例如家庭中比较好接触的老人、妇女等。 在家庭中进行第二轮抽样的方法是由美国著名抽样调查专家Leslie Kish发明的，一般称为KISH表方法。访问员入户后，首先记录该户中所有符合调查条件的家庭成员的人数，并按年龄大小进行排序和编号。随后，访问员根据受访户的编号和家庭人口数的交叉点，在表中找到一个数，并以这个数所对应的家庭成员作为受访者。 上述案例是一个典型的两阶段入户调查的现场抽样设计，从设计的全过程可以看到，随机性原则分别在选择居委会、选择居民户和入户后选择受访者等环节中得到体现。在任何一个环节中，如果随机原则受到破坏，都有可能对调查结果造成无法估计的偏差。调查中的抽样设计是一个复杂的技术环节，非专业的研究人员对此问题需要给予特殊关注。
❷ 在一次对中小学生的抽样问卷调查中有这样一个问题当你讨厌的人向你求助你会帮他吗试写一篇议论文
写某个具体时期或者某个具体地点的人，在特殊时期的人，常常会表现出特殊的状态，如非典时期，你身边的人怎样表现的？在不同的社会地点，一般人们表现不同的社会角色，在家的和在办公室的爸爸一定看起来很不一样。
❸ 请问谁有关于抽样技术的课程论文，急求！
用。
从总费用函数的公式
0
1
L
T
h
h
h
C
c
c
n
中可以看出，只有
1
L
h
h
h
c
n
是与各层样本量
h
n
有关的费用。最优分配的目标是同时权衡费用和方差两个指标，在方差给定时使费用尽
可能的小，或在费用给定时使方差尽可能的小。因此利用
Cauchy-Schwarz
不等式，可以得出
(1)
在给定方差
st
V
y
的情况下，使得总费用最小的层样本量的个数的确定公式为：
1
1
2
1
(
)
(
/
)
/
L
L
h
h
h
h
h
h
h
h
L
h
h
h
W
S
c
W
S
c
n
V
W
S
N
(2)
在给定总费用
T
C
的情况下，使得方差
st
V
y
最小的层样本量的个数的确定公式为；
0
1
1
(
)
(
/
)
L
T
h
h
h
h
L
h
h
h
h
C
c
W
S
c
n
W
S
c
最优分配的结果表明：
h
n
与
h
N
，
h
S
成正比，而与
h
c
成反比。从而得出下面的行动准
则：倘若（
1
）第
h
层所含有的单元数较多；
（
2
）第
h
层内部单元的差异程度较大；
（
3
）第
h
层每个样本所需的费用较低，则对第
h
层需要抽取一个含量较多的样本。
2
、特殊情形—内曼最优分配
上面所讨论的最优分配是一般情况下的最优分配，如果假定各层的单位抽样费用相等，
即
h
c
c
，
那么费用函数就变为
0
T
C
c
cn
。
此时分配
h
n
n
的表达式将大大的简化：
1
1
h
h
h
h
h
L
L
h
h
h
h
h
h
n
W
S
N
S
n
W
S
N
S
这种形式的分配就被称为内曼最优分配，简称为内曼分配。又称适度法，该种方法是最优分
配的一个特例。
事实上，这一结论早在
1923
年就由俄国学者楚波罗给出了证明，但一直没有引起注意，
直到
1934
年内曼重新给出它的证明，
它才逐渐引起人们的重视，
因此这种形式的最优分配常
被称为内曼最优分配。
内曼最优分配法在考虑各层合理权重的情况下，又使抽样方差减小到可能范围，这种分
配方法在使用时比比例分配法又前进了一步。
（三）最优分配与比例分配的精度比较
分层随机抽样中，依照定义，最优分配时估计量的精度比比例分配时估计量的精度高，
但比例分配是自加权的，计算比较方便。而内曼分配考虑到层权和各层变异程度的因素，会
使抽样精度大大提高，两者各有优点。但是在实际工作中具体选择哪种分配方法，则此时要
对两种方法的估计量的精度进行一下比较。
我们知道比例分配时估计量的方差为：
2
2
2
1
1
1
(
)
prop
st
f
V
y
S
S
S
n
n
N
而内曼分配时估计量的最小方差为：
2
2
1
1
(
)
(
)
L
opt
st
h
h
h
V
y
W
S
S
n
N
因此：
2
2
2
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
0
L
L
prop
st
opt
st
h
h
h
h
h
h
V
y
V
y
S
W
S
W
S
S
n
n
若诸
h
S
很接近，
则比例分配与内曼最优分配的精度相差无几。
只有当各层的
h
S
相差较大时，
最优分配比比例分配在精度上才有较大的得益。因此，在设计抽样方案时，可依已有的信息
对各层的
h
S
的离散程度加以分析，以决定是采用比例分配还是最优分配。
特别地，如果各层的容量、层内差异大小及层内平均每单元的抽样费用十分接近时，也
可直接按等额方法分配总样本量。此时
h
n
n
L
。
（四）实际抽样中分配方法的选取原则
内曼分配是一般最优分配的特例，按比例分配又是内曼分配的特例，所以，一般最优分
配是样本容量分配的通用规则。由于不同的分配规则引起的层样本容量不同，产生的抽样效
果也会有差别，所以如果分配方式不当，就会引起抽样效果的损失。选取分配方法，应该考
虑具体的调查目的，调查目的的不同，样本容量的选取规则也有差别。
1
、调查目的是取得总体特定值的情况
在这种情况下，分层实际上是为了改进这些特定值估计量的效率。现实中采用分层抽样
大多数是为了达到这一目的。
在实际工作中，比例分配法最常用。由于它所抽取的样本容量考虑了各层的合理权重，
使得综合计算的样本指标能切合实际情况，并且操作实施方便，在不要求费用等因素时很实
用。若在给定的费用下，使估计量的方差
st
V
y
达到最小，或者在给定的估计量方差
V
下，
使得总费用达到最小，
则使用一般最优分配。
内曼最优分配法在考虑各层合理权重的情况下，
又使抽样方差减小到可能范围，这种分配方法在使用时比比例分配法又前进了一步，而且它
是一般最优分配法的特殊情况，即对于每个抽样单元来说抽样时所花费用都相等。
2
、调查目的是进行各层之间的比较
一般来说，这种比较最好是在有相同相对标准误的层样本估计量之间进行，应该用相同
的样本容量，除非总体方差或单位调查费用在层间变化很大。在后一种情况下，应使分配的
各层样本容量与层总体标准差成正比，与层平均费用的平方根成反比，这样会使总体层与层
之间差的平均方差达到最小。
3
、调查目的是既要估计整个总体也要估计层特定值的情况
在这种调查结果对总体和各层（即子总体）都需要的情况下，样本容量的分配应视主次
而定。如果调查的主要目的是估计整个总体，那最优分配是适当的，但如果求得的各层的统
计量更重要，那么，不论从提高层估计精度还是从使层与层更容易比较来讲，就必须做一些
特定的样本容量分配，以便在这两个目的之间做一些妥协。
四、多变量情况下样本量在各层的分配
一次抽样调查中调查项目或指标可能不止一个。因此，往往总样本量对某个指标的最优
分配不一定也是对其它指标的最优分配，有时会出现相互矛盾的情况。因此对于一个含有多
变量的调查来说，需要找到一种折中的分配方案。
（一）比例分配
在分层随机抽样中，当一项调查含有多个指标时，最简单的一种样本量的分配方式就是
比例分配。由于比例分配并不涉及具体的指标，并且此时总体总量和总体均值的估计都是自
加权的，不但形式简单，而且数据处理也相对容易，并且在多数情况下都能得到比较令人满
意的结果，所以此时这种分配方式是可取的。
（二）各指标最优分配平均法
该方法的基本思想是先在众多的指标中，选择最重要的
K
个，分别按最优分配原则计算
出各层应分配的样本量
jh
n
，
然后求其平均值：
1
1
K
h
jh
j
n
n
K
由于各指标之间一般具有较高的相关性，因此，各指标的最优分配结果悬殊不会太大。
考虑到在计算最优分配时还受到
h
S
估计误差的影响，因此，在实际中这样处理就可以了。
（三）查特吉（
Chatterjee
）折中方法（
1967
年）
假定经过挑选后，有
K
个主要指标，
jh
n
为第
j
个指标在第
h
层按最优分配的样本量，
n
为第
h
层应分配的样本量，查特吉提出折中的办法是：
2
1
2
1
1
K
jh
j
h
L
K
jh
h
j
n
n
n
n
查特吉法与平均法的结果很接近，它们都是在诸
jh
n
中进行折中。若
jh
n
间相差很大，
不能明显的折中，此时，需建立一些准则来确定各层样本量的分配。
（四）耶茨（
Yates
）方法
这种方法应用于有一个特定目的的调查，这种调查中由于估计量给定的误差所引起的损
失是可以用钱或效用来衡量的。把总的预期损失
L
看作估计量的方差的线性函数：
,
1
(
)
K
j
j
st
j
L
a
V
y
则可进一步经过变换，推导出结论为：
1
/
(
/
)
h
h
h
h
L
h
h
h
h
W
A
C
n
n
W
A
C
，
1
1
1
(
)(
/
)
L
L
h
h
h
h
h
h
h
h
W
A
n
W
A
C
L
C
，
2
1
K
h
j
j
h
j
A
a
S
其中：
2
jh
S
是第
j
个指标在第
h
层的方差；
j
a
为系数；
,
j
st
y
是第
j
个指标的总体均值估计量。
由于比例分配的样本是自加权的，因此，其估计量及其方差的确定形式都较最优分配时
更为简便。但如果各层的因子
/
h
h
S
C
之间差异很大时，最优分配将会比比例分配更为有
效。
然而，
由于方差对于分配中发生的小的甚至是中等的变动并不敏感，
因此，
基什
（
L
K
ish
）
认为在实际中（
1
）除非各层的因子
/
h
h
S
C
之间有实质性的差异，一般不要采用最优分
配。否则最优分配多出的效益可能会被加权和特别细致工作的额外花费所抵消。一般来说，
要好几倍的差异才值得做最优分配。
若
/
h
h
S
C
的几个值大致相等，
就要用比例分配。
（
2
）
最优分配往往不是估计比例值的经济方法，
因为比例的标准差等于
(1
)
h
h
P
P
，
它们对于
0.1
到
0.9
之间变动的
h
P
值是不敏感的。
（
3
）应用最优分配时，在实践上要避免使抽样比成
为复杂的分数。
（
4
）很多潜在的效益常常只需使用一些不同的抽样比就可以得到。有时只用
两个抽样比就可以取得大部分的效益，对绝大多数元素采用一个低抽样比，而对一个只包含
大元素的特殊层则采用一个高抽样比。有时，甚至可使这些特殊层能被当然的选入样本（即
使其抽样比为
1
）
，以完全排除它对抽样误差的影响。
【参考文献】
1
金勇进，杜子芳，蒋研
.
抽样技术
M
.
北京：中国人民大学出版社，
2008.
2
冯士雍，倪加勋，邹国华
.
抽样调查理论与方法
M
.
北京：中国统计出版社，
1998.
3
倪加勋
.
抽样调查
M
.
大连：东北财经大学出版社，
1994.
4
美
W.G.
科克伦
.
抽样技术
M
.
张尧庭译
.
北京：中国统计出版社，
1985.
5
谢邦昌
.
抽样调查的理论及其应用方法
M
.
北京：中国统计出版社，
1998.
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第18章 基本统计方法
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